Luas segitiga dengan trigometri aturan sinus dan aturan cosinus

Aturan Sinus

Menjelaskan hubungan antara perbandingan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap sinus sudut pada segitiga.Berdasarkan aturan sinus dalam segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi segitiga mempunyai nilai yang sama. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

CONTOH SOAL

• Sebuah segitiga diketahui memiliki sudut A = 30º, sisi a = 3 dan sisi b = 4. Hitung besar sudut B, besar sudut C dan panjang sisi c!

Diketahui:

A = 30º

a = 3

b = 4

Ditanya: B, C dan c?

Jawab:

• Menentukan besar sudut B

Karena sinus harus bernilai positif baik di kuadran I maupun kuadran II, maka sudut lain yang memenuhi adalah B = (180º - 41,8º) = 138,2º

• Menentukan besar sudut C

Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180º, oleh karena itu berlaku:

A + B + C = 180º → C = 180º - (A + B)

Untuk B = 41,8º → C = 180º - (30º + 41,8º) = 108,2º

Untuk B = 138,2º → C = 180º - (30º + 138,2º) = 11,8º

• Menentukan panjang sisi C

 

Aturan Cosinus

Aturan Cosinus merupakan aturan yang menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga. Aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur lain dalam suatu segitiga sembarang untuk dua kasus yaitu saat tiga sisi ketahui dan saat dua sisi dan sudut apitnya diketahui. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

 

Sehingga aturan cosinus berlaku untuk setiap segitiga ABC sebagai berikut:

a² = b² + c² - 2 bc cos A

b² = c² + a² - 2 ac cos B

c² = a² + b² - 2 ab cos C

 

Berdasarkan rumus aturan cosinus di atas, maka di dapatkan rumus untuk menghitung besar sudutnya :

 

Supaya kamu lebih paham, kerjakan contoh soaldi bawah ini yuk Squad!

• Segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi c = 6 cm dan besar sudut B = 60º. Tentukan panjang sisi b!

Diketahui:

a = 5 cm

c = 6 cm

B = 60º

Ditanya: b?

Jawab:

 b² = a² + c² - 2ac cos B

 b² = 5² + 6² - 2(5)(6) cos 60º

 b² = 25 + 36 - 60 (0,5)

 b² = 61 - 30

 b² = 31

 b = 5,56 cm

Jadi, panjang sisi b adalah 5,56 cm

Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga

Aturan Sinus

Perhatikan segitiga berikut! 

Dari gambar di atas, berlaku aturan sinus yaitu : 
  asin∠A=bsin∠B=csin∠C$\begin{array}{r}\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}\end{array}$ atau sin∠Aa=sin∠Bb=sin∠Cc$\begin{array}{r}\frac{\sin \mathrm{\angle }A}{a}=\frac{\sin \mathrm{\angle }B}{b}=\frac{\sin \mathrm{\angle }C}{c}\end{array}$ 

Pembuktian Rumus aturan sinus : 

*). Dari gambar (1a), 
Segitiga ADC, sinA=CDAC→CD=ACsinA→CD1=bsinA$\sin A=\frac{CD}{AC}\to CD=AC\sin A\to C{D}_1=b\sin A$ 
Segitiga BDC, sinB=CDBC→CD=BCsinB→CD2=asinB$\sin B=\frac{CD}{BC}\to CD=BC\sin B\to C{D}_2=a\sin B$ 
Dari panjang CD,  
diperoleh CD1=CD2→bsinA=asinB→asin∠A=bsin∠B$C{D}_1=C{D}_2\to b\sin A=a\sin B\to \frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}$
persamaan (i) : asin∠A=bsin∠B$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}$ 

*). Dari gambar (1b), 
Segitiga AEB, sinA=EBAB→EB=ABsinA→EB1=csinA$\sin A=\frac{EB}{AB}\to EB=AB\sin A\to E{B}_1=c\sin A$ 
Segitiga CEB, sinC=EBCB→EB=CBsinC→EB2=asinC$\sin C=\frac{EB}{CB}\to EB=CB\sin C\to E{B}_2=a\sin C$ 
Dari panjang EB,  
diperoleh EB1=EB2→csinA=asinC→asin∠A=csin∠C$E{B}_1=E{B}_2\to c\sin A=a\sin C\to \frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}$ 
persamaan (ii) : asin∠A=csin∠C$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}$ 

Dari pers(i) : asin∠A=bsin∠B$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}$ dan pers(ii) : asin∠A=csin∠C$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}$ 
Diperoleh : asin∠A=bsin∠B=csin∠C$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}$ 
Jadi, terbukti rumus aturan sinusnya.

Penyelesaian : 
*). Kita gunakan sudut A dan B untuk aturan sinusnya : 
ACsinBACsin60∘AC123‾√AC3‾√ACACACAC=BCsinA=4sin45∘=4122‾√=42‾√=43‾√2‾√=43‾√2‾√.2‾√2‾√=46‾√2=26‾√$\begin{array}{rl}\frac{AC}{\sin B}& =\frac{BC}{\sin A}\\ \frac{AC}{\sin {60}^{\circ }}& =\frac{4}{\sin {45}^{\circ }}\\ \frac{AC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}& =\frac{4}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ \frac{AC}{\sqrt{3}}& =\frac{4}{\sqrt{2}}\\ AC& =\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\ AC& =\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ AC& =\frac{4\sqrt{6}}{2}\\ AC& =2\sqrt{6}\end{array}$ 
Jadi, panjang AC=26‾√$AC=2\sqrt{6}$ . 

2). Tentukan panjang AC pada segitiga ABC berikut. 

Penyelesaian : 
*). Menentukan besarnya sudut y∘$y^{\circ }$ : 
sinCABsiny∘8siny∘1siny∘y∘=sinABC=sin45∘82‾√=122‾√2‾√=12=30∘$\begin{array}{rl}\frac{\sin C}{AB}& =\frac{\sin A}{BC}\\ \frac{\sin y^{\circ }}{8}& =\frac{\sin {45}^{\circ }}{8\sqrt{2}}\\ \frac{\sin y^{\circ }}{1}& =\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ \sin y^{\circ }& =\frac{1}{2}\\ y^{\circ }& ={30}^{\circ }\end{array}$ 
*). Menentukan besarnya sudut x∘$x^{\circ }$ 
jumlah sudut segitiga ABC A+B+C45∘+x∘+30∘x∘=180∘=180∘=m∘=105∘$\begin{array}{rl}\text{jumlah sudut segitiga ABC }& ={180}^{\circ }\\ A+B+C& ={180}^{\circ }\\ {45}^{\circ }+x^{\circ }+{30}^{\circ }& ={180}^{\circ }\\ x^{\circ }& ={105}^{\circ }\end{array}$ 
*). Menentukan panjang AC dengan aturan sinus 

 ACsin105∘ACACAC=ABsinC=8sin30∘=812=16=16sin105∘(gunakan kalkulator)=16×0,9659=15,4548$\begin{array}{rl}\frac{AC}{\sin B}& =\frac{AB}{\sin C}\\ \frac{AC}{\sin {105}^{\circ }}& =\frac{8}{\sin {30}^{\circ }}\\ \frac{AC}{\sin {105}^{\circ }}& =\frac{8}{\frac{1}{2}}\\ \frac{AC}{\sin {105}^{\circ }}& =16\\ AC& =16\sin {105}^{\circ }\text{(gunakan kalkulator)}\\ AC& =16\times 0,9659\\ AC& =15,4548\end{array}$
Jadi, panjang AC = 15,4548 .