luas segi-n beraturan, jari jari lingkarang luar dan lingkaran dalam segitiga, garis singgung persekutuan luar/dalam lingkaran

Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan

Pada dasarnya bangun datar segi-n beraturan terbentuk dari lingkaran yang dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang sama besar (berbentuk segitiga sama kaki). Sehingga untuk menghitung luas dan keliling bangun datar segi-n kita akan melibatkan sudut pusat dan jari-jarinya. Sudut pusatnya adalah sudut pada segitiga dengan besarnya adalah 360∘n$\frac{{360}^{\circ }}{n}$ yang ditunjukkan oleh tanda sudut warna merah. Sementara sisi dari bangun datar segi-n ditunjukkan oleh huruf x$x$. Perhatikan gambar berikut ini. 

         Dalam menghitung Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan, kita melibatkan rumus luas segitiga yang melibatkan sudut yaitu lebih tepatnya luas segitiga menggunakan sinus dan untuk menghitung kelilingnya kita menggunakan konsep aturan kosinus. Silahkan teman-teman baca materinya pada artikel : "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga". Untuk lebih memudahkan, teman-teman sebaiknya juga mempelajari nilai perbandingan fungsi trigonometri pada sudut-sudut istimewa pada artikel "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi". 

Penghitungan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan

♠$\mathrm{♠}$ Luas bangun datar segi-n beraturan : 
*). Luas segitiga menggunaan sinus. 
Perhatikan segitga PRQ pada segienam di atas (sebagai contoh saja), luasnya adalah : 
Luas segitiga =12.r.r.sinθ=12r2sin360∘n$=\frac{1}{2}.r.r.\sin \theta =\frac{1}{2}{r}^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{n}$. 
*). Luas bangun datar segi-n beraturan : 
Luas segi-n =n×$=n\times$ luas segitiga 
Luas segi-n =n2r2sin360∘n$=\frac{n}{2}{r}^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{n}$  

♣$\mathrm{♣}$ Keliling bangun datar segi-n beraturan : 
*). Aturan kosinus menentukan pajang sisi segin-n (x$x$). 
Berdasarkan aturan kosinus pada segitiga PRQ, panjang x$x$ adalah 
x2=r2+r2−2.r.r.cosθ$x^2=r^2+r^2-2.r.r.\cos \theta$ 
x=2r2−2r2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$x=\sqrt{2r^2-2r^2\cos \frac{{360}^{\circ }}{n}}$ 
x=r2−2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$x=r\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{n}}$ 
*). Keliling bangun datar segi-n beraturan 
Keliling =n×x=nr2−2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$=n\times x=nr\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{n}}$. 

keterangan : 
θ=$\theta =$ sudut pusat =360∘n$=\frac{{360}^{\circ }}{n}$. 

Contoh soal Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan : 

1). Pada segienam beraturan dengan jari-jari 10 cm, tentukan : 
a). Luas, 
b). Keliling. 

Penyelesaian : 
*). Pada soal diketahui r=10$r=10$. 
Bangun datar segienam artinya n=6$n=6$. 
a). Luas segienam beraturan: 
Luas Segienam =n2r2sin360∘n=62.102sin360∘6=300sin60∘=300.123‾√=1503‾√$\begin{array}{rl}\text{Luas Segienam }& =\frac{n}{2}{r}^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{n}\\ & =\frac{6}{2}{.10}^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{6}\\ & =300\sin {60}^{\circ }\\ & =300.\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & =150\sqrt{3}\end{array}$ 
Jadi, luas segienam tersebut adalah 150(√3)cm2.♡$150\sqrt{(}3)c{m}^2.\mathrm{♡}$. 

b). Keliling segienam beraturan, 
Keliling Segienam =nr2−2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=6.102−2cos360∘6‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=602−2cos60∘‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=602−2.12‾‾‾‾‾‾‾‾√=602−1‾‾‾‾‾√=601‾√=60$\begin{array}{rl}\text{Keliling Segienam }& =nr\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{n}}\\ & =6.10\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{6}}\\ & =60\sqrt{2-2\cos {60}^{\circ }}\\ & =60\sqrt{2-2.\frac{1}{2}}\\ & =60\sqrt{2-1}\\ & =60\sqrt{1}\\ & =60\end{array}$
Jadi, keliling segienam tersebut adalah 60cm.♡$60cm.\mathrm{♡}$. 

2). Sebuah bangun datar segi-8 beraturan memiliki keliling 322−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√$32\sqrt{2-\sqrt{2}}$ cm. Tentukan 
a). Panjang sisi dan jari-jarinya, 
b). Tentukan luas segidelapan tersebut. 

Penyelesaian : 
a). Panjang sisi (x)$(x)$ dan jari-jari (r)$(r)$ : 
*). Panjang sisi, 
Keliling segidelapan 322−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√x=8x=8x=322−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√8=42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√$\begin{array}{rl}\text{Keliling segidelapan }& =8x\\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}}& =8x\\ x& =\frac{32\sqrt{2-\sqrt{2}}}{8}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}\end{array}$
Sehingga panjang sisinya adalah 42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√$4\sqrt{2-\sqrt{2}}$cm. 
*). Jari-jari (r)$(r)$ : 
Keliling Segidelapan 322−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√r=nr2−2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=8.r2−2cos360∘8‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√(bagi 8)=r2−2cos45∘‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=r2−2.122‾√‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=r2−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√=8$\begin{array}{rl}\text{Keliling Segidelapan }& =nr\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{n}}\\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}}& =8.r\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{8}}\text{(bagi 8)}\\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}}& =r\sqrt{2-2\cos {45}^{\circ }}\\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}}& =r\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}}& =r\sqrt{2-\sqrt{2}}\\ r& =8\end{array}$
Sehingga panjang jari-jarinya r=4$r=4$. 

b). Luas segidelapan beraturan : 
Luas Segidelapan =n2r2sin360∘n=82.42sin360∘8=64sin45∘=64.122‾√=322‾√$\begin{array}{rl}\text{Luas Segidelapan }& =\frac{n}{2}{r}^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{n}\\ & =\frac{8}{2}{.4}^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{8}\\ & =64\sin {45}^{\circ }\\ & =64.\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =32\sqrt{2}\end{array}$ 
Jadi, luas segidelapan tersebut adalah 32(√2)cm2.♡$32\sqrt{(}2)c{m}^2.\mathrm{♡}$. 

3). Luas bangun datar segi-12 beraturan adalah 27 cm2${}^2$. Tentukan : 
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi, 
b). Keliling segi-12 tersebut. 

Penyelesaian : 
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi, 
*). Panjang jari-jari : 
Luas Segi-12 27272727r=n2r2sin360∘n=122.r2sin360∘12=6r2sin30∘=6r2.12=3r2=3$\begin{array}{rl}\text{Luas Segi-12 }& =\frac{n}{2}{r}^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{n}\\ 27& =\frac{12}{2}.r^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{12}\\ 27& =6r^2\sin {30}^{\circ }\\ 27& =6r^2.\frac{1}{2}\\ 27& =3r^2\\ r& =3\end{array}$ 
Sehingga r=3$r=3$ cm. 
*). Panjang sisi (x)$(x)$ segi-12 : 
x=r2−2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=32−2cos360∘12‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=32−2cos30∘‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=32−2.123‾√‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=32−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√$\begin{array}{rl}x& =r\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{n}}\\ & =3\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{12}}\\ & =3\sqrt{2-2\cos {30}^{\circ }}\\ & =3\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ & =3\sqrt{2-\sqrt{3}}\end{array}$ 
Sehingga panjang sisi x=32−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√$x=3\sqrt{2-\sqrt{3}}$ 

b). Keliling segi-12 tersebut. 

Keliling =n.x=12.32−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√=362−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√$=n.x=12.3\sqrt{2-\sqrt{3}}=36\sqrt{2-\sqrt{3}}$ 
Jadi, keliling segi-12 adalah 362−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√cm.♡$36\sqrt{2-\sqrt{3}}cm.\mathrm{♡}$. 

4). Sebuah bangun datar segienam beraturan memeiliki jari-jari r$r$ cm, tentukan : 
a). Luas, 
b). Keliling. 

Penyelesaian : 
*). Pada soal diketahui jari-jari =r$=r$. 
Bangun datar segienam artinya n=6$n=6$. 
a). Luas segienam beraturan: 
Luas Segienam =n2r2sin360∘n=62.r2sin360∘6=3r2sin60∘=3r2.123‾√=32r23‾√$\begin{array}{rl}\text{Luas Segienam }& =\frac{n}{2}{r}^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{n}\\ & =\frac{6}{2}.r^2\sin \frac{{360}^{\circ }}{6}\\ & =3r^2\sin {60}^{\circ }\\ & =3r^2.\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & =\frac{3}{2}{r}^2\sqrt{3}\end{array}$ 
Jadi, luas segienam tersebut adalah 32r23‾√cm2.♡$\frac{3}{2}{r}^2\sqrt{3}c{m}^2.\mathrm{♡}$. 

b). Keliling segienam beraturan, 
Keliling Segienam =nr2−2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=6.r2−2cos360∘6‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=6r2−2cos60∘‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=6r2−2.12‾‾‾‾‾‾‾‾√=6r2−1‾‾‾‾‾√=6r1‾√=6r$\begin{array}{rl}\text{Keliling Segienam }& =nr\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{n}}\\ & =6.r\sqrt{2-2\cos \frac{{360}^{\circ }}{6}}\\ & =6r\sqrt{2-2\cos {60}^{\circ }}\\ & =6r\sqrt{2-2.\frac{1}{2}}\\ & =6r\sqrt{2-1}\\ & =6r\sqrt{1}\\ & =6r\end{array}$ 
Jadi, keliling segienam tersebut adalah 6rcm.♡$6rcm.\mathrm{♡}$. 

       Demikian pembahasan materi Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luasan.

Luas Segi n Beraturan

 

Pada segi n beraturan

Setiap segi n beraturan bisa kita bagi menjadi n buah segitiga yang kongruen

Setiap titik sudut pada segi n beraturan bisa dilalui sebuah lingkaran, lingkaran ini disebut lingkaran luar segi n. Semuat titik sudut akan dilewati lingkaran (tidak ada yang tertinggal).

 

Menghitung luas segi n beraturan akan lebih mudah jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya

Setiap segi n bisa dibagi menjadi n buah segitiga yang kongruen seperti pada gambar di atas.

Selanjutnya kita ambil salah satu segitiganya

Besar sudut A adalah 

Luas segitiga adalah

LΔ = ½ .R.R sin A

Luas segi n beraturan adalah

Ln = n. LΔ

Rumus ini merupakan rumus luas segi n beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya.

 

Bagaimana jika diketahui sisinya ?

Pertama kita cari dulu hubungan antara jari-jari lingkaran luar (R) dengan sisinya (a)

Dengan aturan cosinus maka

a2 = R2 + R2 — 2R.R cos A

a2 = 2R2 — 2R2 cos A

a2 = R2(2 — 2cos A)

Luas segi n :

Jadi luas segi n beraturan yang panjang sisinya a adalah