SOAL KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNSI

 Fungsi komposisi adalah susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerjasama dapat juga diilustrasikan jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja saling beriringan. Sedangkan

Fungsi Invers dapat didefinisikan apabila fungsi f: A → B memiliki relasi dengan fungsi g: B → A, maka fungsi g tersebut adalah invers dari f dan dapat juga dituliskan f‾¹ atau g = f ‾¹. Jika f ‾¹ dalam bentuk fungsi, maka f ‾¹ dinyatakan fungsi invers.

Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:

Dengan:

• A disebut domain (daerah asal) dinotasikan Df
• B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan 
•  yeB | (x,y) eR, xEA disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan 

Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

$1$. Fungsi $g:R\to R$ ditentukan oleh $g\left(x\right)=x^2-3x+1$ dan fungsi $f:R\to R$sehingga $(f\circ g)\left(x\right)=2x^2-6x-1$. Maka $f\left(x\right)=$ . . . .
  $A.2x+3$
  $B.2x+2$
  $C.2x-1$
  $D.2x-2$
  $E.2x-3$
[Soal Ebtanas]

$g\left(x\right)=x^2-3x+1$
$(f\circ g)\left(x\right)=2x^2-6x-1$
$f\left(g\right(x\left)\right)=2x^2-6x-1$
$f(x^2-3x+1)=2(x^2-3x+1)-3$
jika kita misalkan $x^2-3x+1=a$
maka $f\left(a\right)=2a-3$
kemudian ganti $ajadix$, maka $f\left(x\right)=2x-3$
jawab: E.

$2$. Diketahui fungsi kuadrat $f\left(x\right)=-2x^2+8x+3$ dengan daerah asal $\{x|-1\le x\le 4,x\in R\}$ daerah hasil fungsi adalah . . . .
  $A.\{y|-7\le y\le 11,y\in R\}$
  $B.\{y|-7\le y\le 3,y\in R\}$
  $C.\{y|-7\le y\le 19,y\in R\}$
  $D.\{y|3\le y\le 11,y\in R\}$
  $E.\{y|3\le y\le 19,y\in R\}$
[Soal Ebtanas]

$f\left(x\right)=-2x^2+8x+3$

Ini merupakan fungsi kuadrat yang terbuka kebawah. Berarti memiliki nilai maksimum.
Sumbu simetri:
$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2.(-2)}=2$
Nilai maksimum jika $x=2$. Perhatikan bahwa titik $x=2$ berada diantara selang $-1\le x\le 4$
$Nilaimaaksimum=f\left(2\right)$
$=-{2.2}^2+8.2+3$
$=11$
$f(-1)=-2.(-1{)}^2+8.(-1)+3=-7$
$f\left(4\right)=-2.(4{)}^2+8.(4)+3=3$
Telihat bahwa range atau daerah hasil berada pada selang $-7\le y\le 11$.
Jadi, $range=\{y|-7\le y\le 11\}$
jawab: A.

$3$. Fungsi $f$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x+1}$, $x\ne -\frac{1}{2}$. Jika $f^{-1}$ adalah invers dari $f$, maka $f^{-1}(x+2)=$. . . .
  $A.\frac{-x+4}{2x-3},x\ne \frac{3}{2}$
  $B.\frac{-x+2}{2x+1},x\ne -\frac{1}{2}$
  $C.\frac{-x+6}{2x+1},x\ne -\frac{1}{2}$
  $D.\frac{-x+2}{2x-3},x\ne \frac{3}{2}$
  $E.\frac{-5x+10}{2x-3},x\ne \frac{3}{2}$
[Soal Ebtanas]

$f\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x+1}$
Kita tulis menjadi $y=\frac{3x+4}{2x+1}$
$(2x+1)y=3x+4$
$2xy+y=3x+4$
$2xy-3x=4-y$
$x(2y-3)=4-y$
$x=\frac{4-y}{2y-3}$
ganti $y$ jadi $x$ dan $x$ jadi $f^{-1}\left(x\right)$
$f^{-1}\left(x\right)=\frac{4-x}{2x-3}$
$f^{-1}(x+2)=\frac{4-(x+2)}{2(x+2)-3}$
$x$ diganti dengan $x+2$
$f^{-1}(x+2)=\frac{4-x-2}{2x+4-3}$
$f^{-1}(x+2)=\frac{2-x}{2x+1}$
jawab: B.

$4$. Diketahui $f\left(x\right)=x-4$. Nilai dari $f\left(x^2\right)-\left(f^2\right(x)+3f(x\left)\right)$ untuk $x=-2$ adalah . . . .
  $A.-54$
  $B.-36$
  $C.-18$
  $D.6$
  $E.18$
[Soal Ebtanas]

$f\left(x\right)=x-4$. 
$f\left(x^2\right)-\left(f^2\right(x)+3f(x\left)\right)$ $=x^2-4-\left[\right(x-4{)}^2+3.(x-4)]$
$=x^2-4-[x^2-8x+16+3x-12]$
$=x^2-4-x^2+5x-4$
$=5x-8$
jawab: C.

$5$. Fungsi $f:R\to R$ dan $g:R\to R$ dinyatakan oleh $f\left(x\right)=x+2$ dan $(g\circ f)\left(x\right)=2x^2+4x+1$. Maka $g\left(2x\right)=$ . . . .
  $A.2x^2+4x+1$
  $B.2x^2-12x+1$
  $C.8x^2-8x+1$
  $D.8x^2+8x+1$
  $E.4x^2-8x+1$
[Soal Ebtanas]

$f\left(x\right)=x+2$ dan $(g\circ f)\left(x\right)=2x^2+4x+1$.
$g(x+2)=2x^2+4x+1$.
$g(x+2)=2(x+2{)}^2-4x-7$.
$g(x+2)=2(x+2{)}^2-4(x+2)+1$.
jika $x+2$ kita misalkan jadi $a$, maka:
$g\left(a\right)=2a^2-4a+1$.
jika $a$ kita misalkan jadi $2x$, maka:
$g\left(2x\right)=2(2x{)}^2-4.2x+1$
$g\left(2x\right)=8x^2-8x+1$
jawab: C.

$6$. Diketahui fungsi $f\left(x\right)=2x+1$ dan $(f\circ g)(x+1)=-2x^2-4x-1$. Nilai $g(-2)$adalah . . . .
  $A.-5$
  $B.-4$
  $C.-1$
  $D.1$
  $E.5$
[Soal Ebtanas]

$f\left(x\right)=2x+1$ dan $(f\circ g)(x+1)=-2x^2-4x-1$.
$(f\circ g)(x+1)=-2(x+1{)}^2+1$.
ganti $x+1$ jadi $a$, kemudian $a$ ganti jadi $x!$
$(f\circ g)\left(x\right)=-2x^2+1$.
$2.g\left(x\right)+1=-2x^2+1$
$g\left(x\right)=-x^2$
$g(-2)=-(-2{)}^2$
$g(-2)=-4$
jawab: B.

$7$. Diketahui $f\left(x\right)=\frac{2-3x}{4x+1}$, $x\ne -\frac{1}{4}$ maka $f^{-1}(x-2)=$ . . . .
  $A.\frac{4-x}{4x-5},x\ne \frac{5}{4}$
  $B.\frac{-x-4}{4x-5},x\ne \frac{5}{4}$
  $C.\frac{-x+2}{4x+3},x\ne -\frac{3}{4}$
  $D.\frac{x}{4x+3},x\ne -\frac{3}{4}$
  $E.\frac{-x}{4x+5},x\ne -\frac{5}{4}$
[Soal Ebtanas]

$f\left(x\right)=\frac{2-3x}{4x+1}$
$y=\frac{2-3x}{4x+1}$
$4xy+y=2-3x$
$4xy+3x=2-y$
$x(4y+3)=2-y$
$x=\frac{2-y}{4y+3}$
$f^{-1}\left(x\right)=\frac{2-x}{4x+3}$
$f^{-1}(x-2)=\frac{2-(x-2)}{4(x-2)+3}$
$f^{-1}(x-2)=\frac{4-x}{4x-5}$
jawab: A.

$8$. Jika $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}$ dan $(f\circ g)\left(x\right)=2\sqrt{x-1}$maka fungsi $g$ adalah $g\left(x\right)=$ . . . .
  $A.2x-1$
  $B.2x-3$
  $C.4x-5$
  $D.4x-3$
  $E.5x-4$
[Soal Ebtanas]

$f\left(x\right)=\sqrt{x+1}$ dan $(f\circ g)\left(x\right)=2\sqrt{x-1}$
$f\left(g\right(x\left)\right)=2\sqrt{x-1}$
$\sqrt{g\left(x\right)+1}=2\sqrt{x-1}$
$g\left(x\right)+1=4(x-1)$
$g\left(x\right)=4x-5$
jawab: C.

$9$. Diberikan fungsi $f$ dan $g$ dengan $f\left(x\right)=2x+1$dan $(f\circ g)\left(x\right)=\frac{x}{x+1},x\ne -1$. Maka invers dari fungsi $g$ adalah $g^{-1}\left(x\right)=$. . . .
  $A.\frac{-x}{x-1},x\ne 1$
  $B.\frac{-2x+1}{2x},x\ne 0$
  $C.-\frac{x-1}{x},x\ne 0$
  $D.-\frac{2x}{2x+1},x\ne -\frac{1}{2}$
  $E.-\frac{2x+1}{2x},x\ne 0$
[Soal Ebtanas]

$f\left(x\right)=2x+1$
$f\left(g\right(x\left)\right)=\frac{x}{x+1}$
$2g\left(x\right)+1=\frac{x}{x+1}$
$2g\left(x\right)=\frac{x}{x+1}-1$
$2g\left(x\right)=\frac{x-x-1}{x+1}$
$2g\left(x\right)=\frac{-1}{x+1}$
$g\left(x\right)=\frac{-1}{2x+2}$
$y=\frac{-1}{2x+2}$
$2xy+2y=-1$
$2xy=-1-2y$
$x=\frac{-1-2y}{2y}$
$g^{-1}\left(x\right)=\frac{-2x-1}{2x}$
$g^{-1}\left(x\right)=-\frac{2x+1}{2x}$
jawab: E.

$10$. Diketahui $f:R\to R$ dan $g:R\to R$, didefinisikan dengan $f\left(x\right)=x^3+4$ dan $g\left(x\right)=2sinx$. Nilai $(f\circ g)\left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ adalah . . . .
  $A.-4$
  $B.2$
  $C.3$
  $D.6$
  $E.12$
[Soal Ebtanas]

$f\left(x\right)=x^3+4$ dan $g\left(x\right)=2sinx$.
$(f\circ g)\left(-\frac{1}{2}\pi \right)={\left(2sin\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right)}^3+4$
$=\left(2.\right(-1){)}^3+4$
$=-8+4$
$=-4$
jawab: A.

$11$. Diketahui $f:R\to R$, $g:R\to R$, $g\left(x\right)=2x+3$ dan $(f\circ g)\left(x\right)=12x^2+32x+26$. Rumus $f\left(x\right)=$ . . . .
  $A.3x^2-2x+5$
  $B.3x^2-2x+37$
  $C.3x^2-2x+50$
  $D.3x^2+2x-5$
  $E.3x^2+2x-50$
[Soal UN]

$g\left(x\right)=2x+3$
$(f\circ g)\left(x\right)=12x^2+32x+26$.
$f(2x+3)=12x^2+32x+26$.
$f(2x+3)=3(2x+3{)}^2-4x-1$.
$f(2x+3)=3(2x+3{)}^2-2(2x+3)+5$.
Misalkan $2x+3=a$, kemudian misalkan $a=x!$
$f\left(x\right)=3x^2-2x+5$
jawab: A.

$12$. Jika $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}$ dan $(f\circ g)\left(x\right)=\frac{1}{x-2}\sqrt{x^2-4x+5}$ maka $g(x-3)=$ . . . .
  $A.\frac{1}{x-5}$
  $B.\frac{1}{x+1}$
  $C.\frac{1}{x-1}$
  $D.\frac{1}{x-3}$
  $E.\frac{1}{x+3}$
[Soal UMPTN]

$f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}$
$(f\circ g)\left(x\right)=\frac{1}{x-2}\sqrt{x^2-4x+5}$
$\sqrt{g^2\left(x\right)+1}=\frac{1}{x-2}\sqrt{x^2-4x+5}$
$g^2\left(x\right)+1=\frac{1}{(x-2{)}^2}(x^2-4x+5)$
$g^2\left(x\right)=\frac{1}{(x-2{)}^2}(x^2-4x+5)-1$
$g^2\left(x\right)=\frac{x^2-4x+5-(x^2-4x+4)}{(x-2{)}^2}$
$g^2\left(x\right)=\frac{1}{(x-2{)}^2}$
$g\left(x\right)=\frac{1}{(x-2)}$
$g(x-3)=\frac{1}{(x-3-2)}$
$g(x-3)=\frac{1}{(x-5)}$
jawab: A.

$13$. Diketahui $f:R\to R$ yang ditentukan oleh $f(x+2)=\frac{x+3}{x-1},x\ne 1$. Rumus untuk $f^{-1}$adalah . . . .
  $A.\frac{x+1}{x+3},x\ne -3$
  $B.\frac{x-3}{x+1},x\ne -1$
  $C.\frac{5-x}{x-1},x\ne 1$
  $D.\frac{3x-1}{x+1},x\ne -1$
  $E.\frac{3x+1}{x-1},x\ne 1$
[Soal Ebtanas]

$f(x+2)=\frac{x+3}{x-1}$
$f(x+2)=\frac{(x+2)+1}{(x+2)-3}$
Misalkan $x+2=a$ dan kemudian misalkan $a=x$, supaya tidak bingung.
$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-3}$
$y=\frac{x+1}{x-3}$
$xy-3y=x+1$
$xy-x=1+3y$
$x(y-1)=3y+1$
$x=\frac{3y+1}{y-1}$
$f^{-1}\left(x\right)=\frac{3x+1}{x-1}$
jawab: E.

$14$. Invers dari $f\left(x\right)=(1-x^3{)}^{\frac{1}{5}}+2$ adalah . . . .
  $A.(x-2{)}^{\frac{5}{3}}$
  $B.1-(x-2{)}^{\frac{5}{3}}$
  $C.1+(x-2{)}^{\frac{5}{3}}$
  $D.(1-[x-2{]}^5{)}^{\frac{1}{3}}$
  $E.(1+[x-2{]}^5{)}^{\frac{1}{3}}$
[Soal UMPTN]

$f\left(x\right)=(1-x^3{)}^{\frac{1}{5}}+2$
$y=(1-x^3{)}^{\frac{1}{5}}+2$
$y-2=(1-x^3{)}^{\frac{1}{5}}$
$[y-2{]}^5=(1-x^3)$
$x^3=1-[y-2{]}^5$
$x={\left(1-[y-2{]}^5\right)}^{\frac{1}{3}}$
$f^{-1}\left(x\right)={\left(1-[x-2{]}^5\right)}^{\frac{1}{3}}$
jawab: D.

$15$. Jika $f\left(x\right)=\sqrt{x}$, $x\ge 0$, dan $g\left(x\right)=\frac{x}{x+1}$, $x\ne -1$, maka $(g\circ f{)}^{-1}(2)=$ . . . .
  $A.\frac{1}{4}$
  $B.\frac{1}{2}$
  $C.1$
  $D.2$
  $E.4$
[Soal UMPTN]

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$ → $f^{-1}\left(x\right)=x^2$
$g\left(x\right)=\frac{x}{x+1}$
$g^{-1}\left(x\right)=\frac{-x}{x-1}$
$(g\circ f{)}^{-1}(x)=(f^{-1}\circ g^{-1}\left)\right(x)$
$(g\circ f{)}^{-1}(x)={\left(\frac{-x}{x-1}\right)}^2$
$(g\circ f{)}^{-1}(2)={\left(\frac{-2}{2-1}\right)}^2$
$=1$
jawab: C.

1 – 10 Soal Fungsi Komposisi dan Invers beserta Pembahasan

1. Jika f (x) = px, p konstanta positif, maka  

Jawaban : 

2. Fungsi  terdefenisi untuk. . .

Jawaban : 

3. Jika fungsi f di defenisikan sebagai f (x) = 2xmaka nilai  

Jawaban : 

4. Jika f (x) =  x + 3 maka f x2  + f2 (x) 2f (x) =……

Jawaban : 

5. Diketahui f (x + 1) = x2 1 dan g (x) = 2x maka (g  f) (x) =……

Jawaban :

6. Jika f (x) = x3 + 2 dan g (x) =  : x ≠ 1 maka (g o f) (x) adalah …..

Jawaban : 

7. Jika f (x) =  dan g (x) = √2x maka (f o g) (x) adalah …..

Jawaban : 

8. Jika f (x) = -4x dan f (g (x)) = -x/2 + 1 maka g (x) =……

Jawaban : 

9.Diketahui (f o g) (x) =   : x ≠  -4 dan g (x) = (1 – x). Maka f (x) adalah ….

Jawaban : 

10. Fungsi f : R → R dan g : R → R dinyatakan oleh f (x) = x + 2 dan (g o f) (x) = 2x2 + 4x + 1 maka g (2x) =……

Jawaban : 

11. Bila f (x) =  dengan x ≠ 3 maka invers dari f (x) adalah f‾¹ (x) = . . .

Jawaban : 

12. Invers dari f (x) = (1 − x³)1/5 + 2 adalah. . .

Jawaban : 

13. Jika f (x) = 3x-1 maka f‾¹ (81) = . . .

Jawaban : 

14. Fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan f (x) = ½
x − 1 dan g (x) = 2x + 4 maka (g ◦ f)‾¹ (10) adalah …

Jawaban : 

15. Jika f‾¹ (x) =  dan g‾¹ (x) =  maka (f ◦ g)‾¹ (6) = . . .

Jawaban : 

16. Jika f (x) =    dan g (x) = x − 2 maka (g ◦ f)‾¹ (x) = . . .

Jawaban : 

17. Diketahui f (x) =5log x dan g (x) =  maka (f ◦ g)‾¹ (x) = ……

Jawaban : 

18. Jika (f ◦ g) (x) = 4x² + 8x − 3 dan g (x) = 2x + 4 maka f‾¹ (x) =……

Jawaban : 

19. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan f (x) = 2x + 4, g (x) =   dan h (x) = (g ◦ f‾¹)(x) dengan f‾¹ adalah fungsi invers dari f dan h‾¹ adalah invers dari h. Rumus fungsi h‾¹ (x) adalah …

Jawaban : 

20. Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f (x) = x + 2 dan g (x) = 2x. Jumlah akar-akar persamaan (g ◦ f) x² − 24x = 0 adalah ..

Jawaban :