Perbandingan trigometri pada segitiga siku-siku

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut pad aSegitiga Siku-Siku

Segitiga siku-siku yaitu segitiga dengan salah satu sudutnya adalah $90^{o}$ . Dalam segitiga siku-siku terdapat sisi miring yang disebut hipotenusa. Kuadrat hipotenusa yaitu jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya. Secara sistematis, teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut.

$\large a^{2} + b^{2} = c^{2}$

dengan a dan b adalah sisi siku-siku dan cadalah sisi miringnya. Untuk lebih jelasnya maka perhatikan gambar berikut.

Perbandingan Sinus (sin), Cosinus (cos), Tangen (tan), Cosecan (scs), Secan (sec), dan Cotangen (cot).

Untuk mengetahui rasio trigonometri, kita menggunakan segitiga siku-siku. Untuk itu, kita harus mengetahui letak sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Sisi Miring adalah sisi di depan sudut siku-siku.
Sisi Depan adalah sisi di depan sudut α.
Sisi Samping adalah sisi siku-siku lainnya.

Setelah mengetahui sisi miring, sisi depan, dan sisi samping, selanjutnya kita akan membahas definisi sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.

$\LARGE sin \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{BC}{AC}$
$\LARGE cos \ \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{AB}{AC}$
$\LARGE tan \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{BC}{AB}$
$\LARGE cosec \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{BC}$
$\LARGE secan \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}$
$\LARGE cotan \: \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}$

Contoh:

Tentukan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut Q dan R pada segitaga berikut.

Jawab:

$\large PQ = \sqrt{QR^{2}-PR^{2}}$

$\large PQ = \sqrt{2^{2}-1^{2}}$

$\large PQ = \sqrt{4-1}$

$\large PQ = \sqrt{3}$

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Sudut istimewa meliputi $\large 0^{o}$ , $\large 30^{o}$ , $\large 45^{o}$ , $\large 60^{o}$ , $\large 90^{o}$ , dan sudut istimewa lainnya pada kuadran II, III, dan IV. Sudut istimewa dihasilkan dengan menggunakan teori geometri.

Untuk mencari sudut istimewa dapat digunakan beberapa bidang datar untuk mencara nilai sudut istimewa tersebut.

Sudut 30dan 60

Untuk mencari nilai perbandingan sudut $30^{o}$ kita menggunakan segitiga sama sisi.

Segitiga sama sisi memiliki sisi-sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar. Sudut-sudut segitiga sama sisi masing-masing adalah $60^{o}$ .

Segitiga sama sisi ABC memiliki panjang sisi-sisinya adalah 2x satuan. Titik D adalah titik tengah AB, sehingga jika ditarik garis dari titik C ke titik D akan membagi segitiga sama sisi tersebut menjadi segitiga sama sisi, dengan sudut siku-siku di D.

Karena titik D merupakan titik tengah, maka panjang AD =BD = $\frac{1}{2}$ AC = x

maka diperoleh:

$\bigtriangleup ACD \cong \bigtriangleup BCD$ $\angle ACD \cong \angle BCD = 30^{o}$

Sehingga $\bigtriangleup ACD$ adalah segitiga siku-siku dengan $\angle D$ adalah sudut siku-siku.Dengan menggunakan teorema phytagoras, maka dapat ditentukan panjang sisi CD

$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}$

$CD^{2}=2x^{2}-x^{2}$

$CD^{2}=4x^{2}-x^{2}$

$CD^{2}=3x^{2}$

$CD=\sqrt{3x^{2}}$

$CD=\sqrt{3}\, x$

1. Untuk $\angle ACD = 30^{o}$

$sin \: 30^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$
$cos \: 30^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$tan \: 30^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$cosec \: 30^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2$
$secan \: 30^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$cotan \: 30^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$

2. Untuk $\angle CAD = 60^{o}$

$sin \: 60^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$cos \: 60^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$
$tan\: 60^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$
$cosec \: 60^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$secan \: 60^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2$
$cotan \: 60^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Sudut 45

Untuk mencari perbandingan sudut pada sudut 45, maka kita menggunakan persegi.

Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ.

perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :
$s i n (θ) = \frac{d e p a n}{m i r i n g} c s c (θ) = \frac{m i r i n g}{d e p a n}$ $c o s (θ) = \frac{s a m p i n g}{m i r i n g} s e c (θ) = \frac{m i r i n g}{s a m p i n g}$ $t a n (θ) = \frac{d e p a n}{s a m p i n g} c o t (θ) = \frac{s a m p i n g}{d e p a n}$
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen

Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.

Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :

Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis $c s c (θ) = \frac{1}{s i n (θ)}$ Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis $s e c (θ) = \frac{1}{c o s (θ)}$ Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis $c o t (θ) = \frac{1}{t a n (θ)}$
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis $t a n (θ) = \frac{s i n (θ)}{c o s (θ)})$ sehingga $c o t (θ) = \frac{c o s (θ)}{s i n (θ)}$

Contoh 1
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !

Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABC
AC = $\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}$ = 2

Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) = $\frac{d e p a n}{m i r i n g}$ = $\frac{A B}{A C}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos(α) = $\frac{s a m p i n g}{m i r i n g}$ = $\frac{B C}{A C}$ = $\frac{1}{2}$
tan(α) = $\frac{d e p a n}{s a m p i n g}$ = $\frac{A B}{B C}$ = $\frac{\sqrt{3}}{1}$ = $\sqrt{3}$
csc(α) = $\frac{m i r i n g}{d e p a n}$ = $\frac{A C}{A B}$ = $\frac{2}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
sec(α) = $\frac{m i r i n g}{s m p i n g}$ = $\frac{A C}{B C}$ = $\frac{2}{1}$ = 2
cot(α) = $\frac{s a m p i n g}{d e p a n}$ = $\frac{B C}{A B}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Perhatikan segitiga PQR
QR = $\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2}}$ = 1

Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) = $\frac{d e p a n}{m i r i n g}$ = $\frac{Q R}{P R}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
cos(β) = $\frac{s a m p i n g}{m i r i n g}$ = $\frac{P Q}{P R}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
tan(β) = $\frac{d e p a n}{s a m p i n g}$ = $\frac{Q R}{P Q}$ = $\frac{1}{1}$ = 1
csc(β) = $\frac{m i r i n g}{d e p a n}$ = $\frac{P R}{Q R}$ = $\frac{\sqrt{2}}{1}$ = $\sqrt{2}$
sec(β) = $\frac{m i r i n g}{s a m p i n g}$ = $\frac{P R}{P Q}$ = $\frac{\sqrt{2}}{1}$ = $\sqrt{2}$
cot(β) = $\frac{s a m p i n g}{d e p a n}$ = $\frac{P Q}{Q R}$ = $\frac{1}{1}$ = 1

Contoh 2
Jika tan(α) = $\sqrt{3}$ dan α sudut lancip, tentukan nilai dari $s i n^{2} (α) + c o s^{2} (α)$

Penyelesaian :
tan(α) = $\frac{d e p a n}{s a m p i n g}$ = $\frac{\sqrt{3}}{1}$

Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan = $\sqrt{3}$
samping = 1

Dengan teorema phytagoras
miring = $\sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}}$ = 2

Berdasarkan definisi, kita peroleh
sin(α) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos(α) = $\frac{1}{2}$

sin²(α) + cos²(α) = ( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ )² + ( $\frac{1}{2}$ )²
sin²(α) + cos²(α) = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$
sin²(α) + cos²(α) = 1

Jadi, sin²(α) + cos²(α) = 1

Contoh 3
Jika sin(β) = $\frac{1}{2}$ dan sudut β lancip, tentukan nilai dari $s e c^{2} (β) - t a n^{2} (β)$

Penyelesaian :
sin(β) = $\frac{d e p a n}{m i r i n g}$ = $\frac{1}{2}$

depan = 1
miring = 2
samping = $\sqrt{2^{2} - 1^{2}}$ = $\sqrt{3}$

Sesuai definisi
sec(β) = $\frac{2}{\sqrt{3}}$
tan(β) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

sec²(β) − tan²(β) = ( $\frac{2}{\sqrt{3}}$ )² − ( $\frac{1}{\sqrt{3}}$ )²
sec²(α) − tan²(α) = $\frac{4}{3}$ − $\frac{1}{3}$
sec²(α) − tan²(α) = 1

Jadi, sec²(β) − tan²(β) = 1

Contoh 4
Jika cos(γ) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari $c s c^{2} (γ) - c o t^{2} (γ)$

Penyelesaian :
cos(γ) = $\frac{s a m p i n g}{m i r i n g}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
samping = $\sqrt{2}$
miring = 2
depan = $\sqrt{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}}$ = $\sqrt{2}$

Sesuai definisi
csc(γ) = $\frac{2}{\sqrt{2}}$
cot(γ) = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 1

csc²(γ) − cot²(γ) = ( $\frac{2}{\sqrt{2}}$ )² − (1)²
csc²(γ) − cot²(α) = 2 − 1
csc²(γ) − cot²(α) = 1

Jadi, csc²(γ) − cot²(γ) = 1

Contoh 5
Diberikan segitiga ABC $⊥ B$ dengan $∠ A = α$ dan $∠ C = β$ . Tunjukkan bahwa $s i n (α) = c o s (90^{\circ} - α)$ dan $c o s (β) = s i n (90^{\circ} - β)$

Penyelesaian :

Sesuai definisi, maka
sin(α) = $\frac{B C}{A C}$
cos(β) = $\frac{B C}{A C}$

Dari kedua persamaan diatas, maka
sin(α) = cos(β) ......................................(1)

∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + 90° + β = 180°
α + β = 90°
α = 90° − β .............................(2)

β = 90° − α .............................(3)

Substitusi (2) ke (1) diperoleh
sin(90° − β) = cos(β)

Substitusi (3) ke (1) diperoleh
sin(α) = cos(90° − α)

Contoh 6
Diketahui segitiga ABC $⊥ B$ . Titik D terletak pada BC sehingga $C D = 1$ . Jika $∠ A D B = α$ dan $∠ A C B = β$ , tunjukkan bahwa $A B = \frac{t a n (α) t a n (β)}{t a n (α) - t a n (β)}$

Penyelesaian :

Perhatikan segitiga ABD
tan(α) = $\frac{A B}{B D}$
⇔ AB = BD tan(α) ................................(1)

Perhatikan segitiga ABC
tan(β) = $\frac{A B}{B D + 1}$
⇔ AB = (BD + 1) tan(β) .......................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)
BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)
BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)
BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)
BD = $\frac{t a n (β)}{t a n (α) - t a n (β)}$ ..................................(3)

Substitusi (3) ke (1)
AB = $\frac{t a n (β)}{t a n (α) - t a n (β)}$ tan(α)

diperoleh
AB = $\frac{t a n (α) t a n (β)}{t a n (α) - t a n (β)}$

Cari Blog Ini

Saya Senang Menjadi Siswa SMAN 63 JAKARTA

Perbandingan trigometri pada segitiga siku-siku

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

FUNGSI: LINEAR,KUDRAT,RASIONAL,IRASIONAL DAN GRAFIK SERTA MEMBACA GRAFIKNYA

Jumlah dari semua kemungkinan penyelesaian persamaan x = |3x − |35 − 3x|| adalah...

SOAL FUNGSI LINEAR KUADRTAT RASIONAL, IRASIONAL, DAN GRAFIK NYA SERTA MEMBACA GRAFIK NYA