PERSAMAAN KUADRAT LINEAR DAN KUADRAT KUADRAT

Persamaan linier dua variabel x dan y digabungkan dengan persamaan yang mengandung x2 atau y2 SPLK dan SPLDV. 

Soal No. 1
Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut:

(i) y = 2x + 3

(ii) y = x2 − 4x + 8

Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan tersebut di atas!

Pembahasan
Substitusikan y dari persamaan (i) ke y pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii) ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar. 
x2 − 4x + 8 = 2x + 3 
x2 − 4x + 8 − 2x − 3 = 0
x2 − 6x + 5 = 0

Berikutnya faktorkan:
x2 − 6x + 5 = 0
(x − 1)(x − 5) = 0

Dapatkan nilai x yang pertama:
x − 1 = 0 
x = 1

Dapatkan nilai x yang kedua:
x − 5 = 0 
x = 5

Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan (i):
Untuk x = 1 maka
y = 2x + 3
y = 2(1) + 3
y = 2 + 3
y = 5

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)

Untuk x = 5 maka
y = 2x + 3
y = 2(5) + 3
y = 10 + 3
y = 13

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13)

Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)}

Jika lupa bagaimana cara memfaktorkan, bisa dibaca lagi.

Soal No. 2
Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:
(i) y = 5x + 4
(ii) y = x2 + 13x − 16

Pembahasan
x2 + 13x − 16 = 5x + 4
x2 + 13x − 16 − 5x − 4 = 0
x2 + 8x − 20 = 0
(x + 10)(x − 2) = 0

Nilai x yang pertama
x + 10 = 0
x = − 10

Nilai x yang kedua
x − 2 = 0
x = 2

Nilai-nilai y, dari persamaan pertama:
Untuk x = − 10 didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(−10) + 4 = − 46

Untuk x = 2, didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(2) + 4 = 14

Hp : {(− 10, − 46), (2, 14)}

Bagaimana jika SPLK bagian kuadratnya mengandung bentuk implisit yang dapat difaktorkan? Seperti contoh berikutnya.

Soal No. 3
Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:
(i) x − y = 5
(ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di atas!

Pembahasan
(i) x − y = 5
(ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

Terlebih dahulu faktorkan persamaan kuadratnya, ada beberapa cara untuk memfaktorkan bentuk "kuadrat dalam kuadrat" seperti bentuk di atas, salah satunya sebagai berikut:

Ingat kembali bentuk ax2 + bc + c = 0 . Jika diterapkan pada persamaan (ii) maka didapat nilai a, b dan c sebagai berikut:
x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0
a = 1
b = − 6y
c = 9y2 − 9



Sehingga:
x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0
(x − 3y − 3)(x − 3y + 3) = 0

Dari pemfaktoran ini kita dapat dua persamaan baru yaitu:
x − 3y − 3 = 0 .....(iii)
x − 3y + 3 = 0 .....(iv)

Dari persamaan (ii) dan (iii)
x − y = 5
x − 3y = 3
_________   _
2y = 2
y = 1

x − y = 5
x − 1 = 5
x = 6

Dari persamaan (ii) dan (iv)
x − y = 5
x − 3y = − 3
___________   _
2y = 8
y = 4

x − y = 5
x − 4 = 5
x = 9

Sehingga penyelesaiannya adalah {(6, 1), (9, 4)}

 Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) adalah kumpulan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang nilai "Diskriminan". Nilai Diskriminan suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus 

D=b2−4ac$D=b^2-4ac$  

Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)

       Adapun bentuk umum sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dengan variabel x$x$ dan y$y$ 
                     SPKK :  {y=px2+qx+ry=ax2+bx+c$\{\begin{array}{c}y=p{x}^2+qx+r\\ y=a{x}^2+bx+c\end{array}$  
Keterangan : 
*). Variabelnya x$x$ dan y$y$ 
*). Koefisiennya a,b,p,q∈R$a,b,p,q\in R$ 
*). Konstantanya r,c∈R$r,c\in R$

Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)

       Langkah-langkah menyelesaikan SPKK :  
♣$\mathrm{♣}$ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat. 
♣$\mathrm{♣}$ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal x1$x_1$dan x2$x_2$ ) , kemudian substitusikan x1$x_1$ dan x2$x_2$ ke persamaan garis untuk memperoleh y1$y_1$ dan y2$y_2$ . 
♣$\mathrm{♣}$ Himpunan penyelesaian adalah {(x1,y1),(x2,y2)}$\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$. 

Jenis-jenis penyelesaian SPKK

       SPKK ini dapat dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) : 
                     (a−p)x2+(b−q)x+(c−r)=0$(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r)=0$ 
dengan nilai diskriminan : D=b2−4ac=(b−q)2−4.(a−p).(c−r)$D=b^2-4ac=(b-q{)}^2-4.(a-p).(c-r)$ 

SPKK memiliki beberapa kemungkinan penyelesaian berdasarkan: 

♠$\mathrm{♠}$ Jika dilihat dari nilai D$D$, SPKK memiliki beberapa jenis penyelesaian: 
i). Jika D>0$D>0$ , maka SPKK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di dua titik. 

ii). Jika D=0$D=0$, maka SPKK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di satu titik. 

iii). Jika D<0$D<0$, maka SPKK tidak memiliki penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva tidak berpotongan. 

♠$\mathrm{♠}$ Jika dilihat dari koefisien dari setiap persamaan 
SPKK :  {y=px2+qx+ry=ax2+bx+c$\{\begin{array}{c}y=p{x}^2+qx+r\\ y=a{x}^2+bx+c\end{array}$  
i). Jika a=p$a=p$ dan b≠q,$b\ne q,$ maka SPKK memiliki dua penyelesaian. 
ii). Jika a=p,b=q,$a=p,b=q,$ dan c≠r,$c\ne r,$ maka SPKK tidak mempunyai penyelesaian karena kedua kurva sejajar dan tidak berimpit. 
iii). Jika a=p,b=q,$a=p,b=q,$ dan c=r,$c=r,$ maka SPKK mempunyai banyak penyelesaian (ada tak hingga penyelesaian) karena kedua kurva berimpit.

Contoh 
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan  
{y=2x2−4x+3y=x2−3x+5$\{\begin{array}{c}y=2x^2-4x+3\\ y=x^2-3x+5\end{array}$  
Penyelesaian : 
♠$\mathrm{♠}$ Substitusi pers(i) ke pers(ii) 
y=2x2−4x+3→→→→→substitusiy2x2−4x+3x2−x−2(x+1)(x−2)x=−1∨x=x2−3x+5=x2−3x+5=0=0=2$\begin{array}{rl}y=2x^2-4x+3\underset{\text{substitusi}}{\underbrace{\to \to \to \to \to }}y& =x^2-3x+5\\ 2x^2-4x+3& =x^2-3x+5\\ x^2-x-2& =0\\ (x+1)(x-2)& =0\\ x=-1\vee x& =2\end{array}$
artinya x1=−1$x_1=-1$ dan x2=2$x_2=2$ 
♠$\mathrm{♠}$ Substitusi nilai x1=−1$x_1=-1$ dan x2=2$x_2=2$ ke pers(ii) 
x1=−1→y1=x2−3x+5=(−1)2−3(−1)+5=9$x_1=-1\to y_1=x^2-3x+5=(-1{)}^2-3(-1)+5=9$
x2=2→y2=x2−3x+5=22−3.2+5=3$x_2=2\to y_2=x^2-3x+5=2^2-3.2+5=3$
Jadi, HP nya adalah {(−1,9),(2,3)}$\left\{(-1,9),(2,3)\right\}$ 

2). Nilai x$x$ yang memenuhi sistem persamaan  
{x2+y2=25y=4$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=25\\ y=4\end{array}$  
adalah .... ? 
Penyelesaian : 
♣$\mathrm{♣}$ Substitusi y=4$y=4$ ke pers(i) 
4x−y−6=0→y=4x−6$4x-y-6=0\to y=4x-6$ 
x2+y2x2+42x2+16x2xxx1=−3∨x2=25=25=25=9=±9‾√=±3=3$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =25\\ x^2+4^2& =25\\ x^2+16& =25\\ x^2& =9\\ x& =\pm \sqrt{9}\\ x& =\pm 3\\ x_1=-3\vee x_2& =3\end{array}$ 
Jadi, nilai x$x$ yang memenuhi adalah x=−3$x=-3$atau x=3$x=3$ 

+
32−4.a.(3−a)9−12a+4a2(2a−3)

a2+b2−c2=32+22−22=9