PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL

bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Contoh bilangan irasional adalah bilangan π (phi) dan 

Ciri dari persamaan dan pertidaksamaan irasional adalah terdapat variabel atau peubah (x) yang berada dalam tanda akar. Contoh persamaan irasionalsebagai berikut: √ x – 1 = x + 1. x + 5 = √ x2 + 4

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan Irasional Beserta Solusi

1.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>k$

Untuk k ≥ 0
Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) > k²

Untuk k < 0
Solusi : f(x) ≥ 0

Contoh 1
Tentukan HP dari $\sqrt{x-2}>3$

Jawab :
x − 2 ≥ 0 ∩ x − 2 > 3²
x ≥ 2 ∩ x > 11
⇒ x > 11

HP = {x > 11}


Contoh 2
Tentukan HP dari $\sqrt{x+3}>-2$

Jawab :
x + 3 ≥ 0
⇒ x ≥ −3

HP = {x ≥ −3}


2.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<k$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) < k²

Bentuk diatas hanya mempunyai solusi jika k > 0. Jika k ≤ 0, maka pertidaksamaan diatas tidak mempunyai solusi/penyelesaian.

Contoh 3
Tentukan HP dari $\sqrt{2x-1}<1$

Jawab :
2x − 1 ≥ 0 ∩ 2x − 1 < 1²
x ≥ $\frac{1}{2}$ ∩ x < 1
⇒ $\frac{1}{2}$ ≤ x < 1

HP = {$\frac{1}{2}$ ≤ x < 1}


3.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$

f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) > (g(x))² ......(1)
f(x) ≥ 0 ∩ g(x) < 0 ................................(2)

Solusi : 1 ∪ 2

Contoh 4
Tentukan HP dari $\sqrt{x+2}>x$

Jawab :
x + 2 ≥ 0 ∩ x ≥ 0 ∩ x + 2 > x²
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ x² −x − 2 < 0
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ −1 < x < 2

0 ≤ x < 2 ....(1)

x + 2 ≥ 0 ∩ x < 0 
x ≥ −2 ∩ x < 0

−2 ≤ x < 0 ....(2)

1 ∪ 2 ⇒ −2 ≤ x < 2

HP = {−2 ≤ x < 2}


4.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) > 0 ∩ f(x) < (g(x))²

Contoh 5
Tentukan HP dari $\sqrt{x+5}<x-1$

Jawab :
x + 5 ≥ 0 ∩ x − 1 > 0   ∩ x + 5 < (x − 1)²
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x + 5 < x² −2x + 1
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x² − 3x − 4 > 0
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x < −1 atau x > 4
⇒ x > 4

HP = {x > 4}


5.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) > g(x)

Contoh 6
Tentukan HP dari $\sqrt{2x-4}>\sqrt{x-6}$

Jawab :
2x − 4 ≥ 0 ∩ x − 6 ≥ 0 ∩ 2x − 4 > x − 6
x ≥ 2 ∩ x ≥ 6 ∩ x > −2
⇒ x ≥ 6

HP = {x ≥ 6}


6.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)}$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) < g(x)

Contoh 7
Tentukan HP dari $\sqrt{2x-1}<\sqrt{1+x}$

Jawab :
2x − 1 ≥ 0 ∩ 1 + x ≥ 0 ∩ 2x − 1 < 1 + x
x ≥ $\frac{1}{2}$ ∩ x ≥ −1 ∩ x < 2
⇒ $\frac{1}{2}$ ≤ x < 2

HP = {$\frac{1}{2}$ ≤ x < 2}

Persamaan irasional (irational equation) adalah persamaan yang melibatkan variabel dalam tanda akar. Lima contoh berikut semuanya merupakan persamaan irasional. Perhatikan bahwa setiap persamaan memuat variabel di bawah tanda akar (diberi warna merah).
$\begin{array}{cccc}2\sqrt{x-2}& =x+4& & \left(1\right)\\ \sqrt{x^2-2x+1}& =\sqrt{x^2-4}& & \left(2\right)\\ \sqrt{x^{99}+x^{10}}& =0& & \left(3\right)\\ \frac{x+7}{\sqrt{x+4}}+\frac{3}{4}& =0& & \left(4\right)\\ \sqrt[3]{3x+7}& =\sqrt{x+9}& & \left(5\right)\end{array}$
Di sisi lain, dua contoh berikut bukan termasuk persamaan irasional.
$\begin{array}{cccc}x\sqrt{3}& =2-\sqrt{5}& & \left(6\right)\\ \frac{x+1}{x+2}& =\frac{x+4}{x+2}& & \left(7\right)\end{array}$
Persamaan $\left(6\right)$ bukan termasuk persamaanirasional karena variabelnya tidak berada di dalam tanda akar. Persamaan $\left(6\right)$ tergolong persamaan linear.
Persamaan $\left(7\right)$ juga bukan persamaan irasional karena variabelnya tidak termuat dalam tanda akar. Persamaan $\left(7\right)$ merupakan persamaanrasional.
Dengan memperhatikan beberapa contoh di atas, kita diharapkan dapat membedakan mana yang termasuk persamaan irasional dan mana yang bukan. Dalam persamaan irasional, kita umumnya diharuskan untuk menentukan penyelesaian, yaitu nilai pengganti variabel yang membuat persamaan yang bersangkutan menjadi benar.

Soal Nomor 1
Penyelesaian $\sqrt{2x+6}=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=3$                       
B. $x=-3$                    
C. $x=0$
D. $x=-3$ atau $x=3$
E. $\text{tidak ada}$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{2x+6}=0$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{2x+6}{)}^2& =0^2\\ 2x+6& =0\\ 2x& =-6\\ x& =-3\end{array}$
Syarat akar:
$2x+6\ge 0\iff x\ge -3$
Karena $x=-3$ memenuhi syarat $x\ge -3$, maka solusi ini diterima. Jadi, penyelesaian persamaan irasional tersebut adalah $x=-3$.
(Jawaban B)

Soal Nomor 2
Jika $x$ memenuhi $\sqrt{3x-1}=2$, maka nilai dari $x+\frac{1}{3}=\cdots \cdot$
A. $\frac{1}{3}$                   C. $2$                           E. $3$
B. $\frac{5}{3}$                   D. $\frac{7}{3}$          

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{3x-1}=2$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{3x-1}{)}^2& =2^2\\ 3x-1& =4\\ 3x& =5\\ x& =\frac{5}{3}\end{array}$
Syarat akar:
$3x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{3}$
Karena $x=\frac{5}{3}$ memenuhi syarat $x\ge \frac{1}{3}$, maka solusi ini diterima.
Jadi, penyelesaian persamaan irasional tersebut adalah $x=\frac{5}{3}$.
Dengan demikian, nilai dari
$x+\frac{1}{3}=\frac{5}{3}+\frac{1}{3}=2$
(Jawaban C)

Soal Nomor 3
Penyelesaian dari persamaan $\sqrt[3]{3x+8}=3$adalah $\cdots \cdot$
A. $x=3$                          D. $x=27$
B. $x=19$                        E. $x=31$
C. $x=21$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt[3]{3x+8}=3$.
Kubikkan (pangkat tigakan) kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt[3]{3x+8}{)}^3& =3^3\\ x+8& =27\\ x& =19\end{array}$
Jadi, nilai $x=19$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Semua bilangan real yang memenuhi persamaan $\sqrt{x^2+4x-5}=4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-7$ atau $x=3$
B. $x=-3$ atau $x=7$
C. $x=3$ atau $x=7$
D. $x=-7$ saja
E. $x=3$ saja

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x^2+4x-5}=4$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{x^2+4x-5}{)}^2& =4^2\\ x^2+4x-5& =16\\ x^2+4x-21& =0\\ (x+7)(x-3)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=-7$ atau $x=3$.
Syarat akar:
$\begin{array}{cc}{x}^2+4x-5& \ge 0\\ (x+5)(x-1)& \ge 0\\ x\le -5& \text{atau}x\ge 1\end{array}$
Karena $x=-7$ maupun $x=3$ memenuhi syarat akar di atas, maka solusi ini diterima.

Jadi, semua bilangan real yang memenuhi persamaan irasional di atas adalah $x=-7$atau $x=3$.
(Jawaban A)

[collapse]

bilangan e (epsilon). 

Suatu pertidaksamaan bentuk akardinamakan juga pertidaksamaan irasional, hal ini dikarekanan nilai peubah yang akan ditentukan selangnya terdapat dalam tanda akar. Teoremanya adalah sebagai berikut: 

1. 

2.

3.

4.