soal persamaan pertidaksamaan rasional & irasional

SOAL PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL

Contoh soal Pertidaksamaan Rasional

Tentukan himpunan penyelesaian dari  :

Jawab:

Pembuat nol adalah

x − 3 = 0  ⇒ x = 3

x + 1 = 0  ⇒ x = −1

Syarat :

x + 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ −1

Untuk interval x < −1, ambil x = −2 : 

Untuk interval −1 < x ≤ 3, ambil x = 0 : 

Untuk interval x > 3, ambil x = 4 : 

Sebab pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaiannya berada pada interval yang bertanda positif (+).

Yaitu: HP = {x < −1 atau x ≥ 3}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari  :

Jawab :

Pembuat nol adalah

(x − 1)(x − 1) = 0  ⇒ x = 1

x + 2 = 0  ⇒ x = −2

Syarat :

x + 2 ≠ 0  ⇒ x ≠ −2

Sebab pertidaksamaan bertanda “<“, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda negatif (−).

Yaitu Himpunan Penyelesaian = {x < −2}

contah 3.

Contoh Soal Pertidaksamaan Irasional

Contoh :

Tentukanlah himpunan penyelesaian atas pertidaksamaan dibawah ini :

Jawaban :

Bentuk tersebut dapat terpenuhi jika diperoleh :

Penyelesaian himpunan pertidaksamaan irasional ini merupakan suatu irisan dari (a) dan (b). Sehingga diperoleh hasil :

Berdasarkan penjelasan diatas dapat disimpulkan jika hasil himpunan penyelesaian atas pertidaksamaan tersebut ialah disamping ini

Contoh :

Tentukanlah himpunan penyelesaian atas pertidaksamaan dibawah ini :

Jawaban :

Bentuk tersebut dapat dipenuhi jika :

Penyelesaian pertidaksamaan irasional adalah suatu irisan dari (a), (b), dan (c). Sehingga diperoleh hasil :

Berdasarkan hasil yang diperoleh diatas dapat disimpulkan hasil dari pertidaksamaan tersebut dibawah ini

Bentuk ini dapat terpenuhi jika :

4. Contoh :

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dibawah ini

Jawaban :

Bentuk tersebut dapat dipenuhi jika

Titik pembuat nol adalah x = -2, x =1.

Penyelesaian : x < -2 dan x > 1

Penyelesaian pertidaksamaan irsional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Sehingga diperoleh :

Hasil penyelesaian himpunan pertidaksamaan adalah dibawah ini

impunan penyelesaian dari pertidaksamaan

adalah

A. x > 7

B. 4 < x < 7

C. x < 4

D. -4 < x < 7

Jawaban :

Bentuk tersebut dapat terpenuhi jika :

Titik pembuat nol x = 4, dan x = 7 adalah sebagai berikut :

Penyelesaian : 4 < x < 7

Penyelesaian himpunan pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Sehingga dapat diperoleh sebagai berikut

Jadi dapat disimpulkan himpunan dari penyelesaian pertidaksamaan diatas adalah 4 < x < 7.

 Soal Nomor 1

Penyelesaian $\sqrt{2x+6}>0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x<3$                              D. $x>-3$
B. $x\le -3$                           E. $x>6$
C. $x\ge -3$ 

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{2x+6}>0$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{2x+6}{)}^2& >(0{)}^2\\ 2x+6& >0\\ 2x& >-6\\ x& >-3\end{array}$
Syarat akar:
$2x+6\ge 0\iff x\ge -3$
Karena semua $x$ yang memenuhi $x>-3$juga memenuhi syarat akar $x\ge -3$, maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $x>-3$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $\sqrt{3x-1}<2$, maka nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $x<\frac{5}{3}$                          D. $\frac{1}{3}<x<\frac{5}{3}$
B. $x>\frac{1}{3}$                          E. $\frac{1}{3}<x\le \frac{5}{3}$
C. $\frac{1}{3}\le x<\frac{5}{3}$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{3x-1}<2$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cccc}(\sqrt{3x-1}{)}^2& <(2{)}^2& & \\ 3x-1& <4& & \\ 3x& <5& & \\ x& <\frac{5}{3}& & \left(★\right)\end{array}$
Syarat akar:
$3x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{3}$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $★$ dan syarat akar di atas merupakan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisan dari $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ adalah $\frac{1}{3}\le x<\frac{5}{3}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 3
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x^2+4x-5}>4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-7<x<-5$ atau $1<x\le 3$
B. $-7<x<-5$ atau $1\le x\le 3$
C. $-7<x\le -5$ atau $1\le x<3$
D. $x<-7$ atau $x>3$
E. $x<5$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x^2+4x-5}>4$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{x^2+4x-5}{)}^2& <(4{)}^2\\ x^2+4x-5& <16\\ x^2+4x-21& <0\\ (x+7)(x-3)& <0\end{array}$
Pembuat nol: $x=-7$ atau $x=3$.
Penyelesaian $\left(1\right)$: $-7<x<3$.
Syarat akar:
$\begin{array}{cc}{x}^2+4x-5& \ge 0\\ (x+5)(x-1)& \ge 0\end{array}$
Pembuat nol: $x=-5$ atau $x=1$.
Penyelesaian $\left(2\right)$: $x\le -5$ atau $x\ge 1$.
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ merupakan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisan dari $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ adalah $-7<x\le -5\text{atau}1\le x<3$
(Jawaban C)

Soal Nomor 4
Jika $\sqrt{3-5x}>\sqrt{x}$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $x\ge 0$                               D. $0\le x<\frac{1}{2}$
B. $x<\frac{1}{2}$                         E. $\frac{1}{2}\le x<\frac{3}{5}$
C. $x\le \frac{3}{5}$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{3-5x}>\sqrt{x}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cccc}(\sqrt{3-5x}{)}^2& >(\sqrt{x}{)}^2& & \\ 3-5x& >x& & \\ -6x& >-3& & \\ x& <\frac{1}{2}& & \left(★\right)\end{array}$
Syarat akar $\left(1\right)$:
$3-5x\ge 0\iff x\le \frac{3}{5}$
Syarat akar $\left(2\right)$: $x\ge 0$.
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\left(★\right)$ dan kedua syarat akar di atas merupakan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $0\le x<\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

Diketahui $\sqrt{1-x}<\sqrt{2x+6}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cccc}(\sqrt{1-x}{)}^2& <(\sqrt{2x+6}{)}^2& & \\ 1-x& >2x+6& & \\ -x-2x& >6-1& & \\ -3x& <5& & \\ x& >-\frac{5}{3}& & \left(★\right)\end{array}$
Syarat akar $\left(1\right)$:
$1-x\ge 0\iff x\le 1$
Syarat akar $\left(2\right)$:
$2x+6\ge 0\iff x\ge -3$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $★$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaianpertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\{x|-\frac{5}{3}<x\le 1\}$
(Jawaban E)

Soal Nomor 6
Himpunan penyelesaian $\sqrt{x^2-3x+2}\le \sqrt{x+7}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x|x\ge 5,x\in R\}$
B. $\{x|-1\le x\le 5,x\in R\}$
C. $\{x|-7\le x\le 7\text{atau}2\le x\le 5,x\in R\}$
D. $\{x|-1\le x\le 1\text{atau}2\le x\le 5,x\in R\}$
E. $\{x|-1\le x<0\text{atau}2\le x\le 5,x\in R\}$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x^2-3x+2}\le \sqrt{x+7}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{x^2-3x+2}{)}^2& \le (\sqrt{x+7}{)}^2\\ x^2-3x+2& \le x+7\\ x^2-4x-5& \le 0\\ (x+1)(x-5)& \le 0\end{array}$
Pembuat nol: $x=-1$ atau $x=5$.
Penyelesaiannya adalah $-1\le x\le 5\left(★\right)$
Syarat akar $\left(1\right)$:
$x^2-3x+2\ge 0\iff (x-1)(x-2)\ge 0$
Pembuat nol: $x=1$ atau $x=2$.
Penyelesaiannya adalah $x\le 1\text{atau}x\ge 2$.
Syarat akar $\left(2\right)$:
$x+7\ge 0\iff x\ge -7$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $★$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaianpertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\{x|-1\le x\le 1\text{atau}2\le x\le 5,x\in R\}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\sqrt{x^2-x-2}<\sqrt{x^2+3x+2}$adalah $\cdots \cdot$
A. $x\ge 2$
B. $x>-1$
C. $-2\le x\le 1$
D. $x\le -2$ atau $x\ge 2$
E. $-2\le x\le -1$ atau $x\ge 2$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x^2-x-2}<\sqrt{x^2+3x+2}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{x^2-x-2}{)}^2& <(\sqrt{x^2+3x+2}{)}^2\\ x^2-x-2& <x^2+3x+2\\ -4x& <4\\ x& >-1\left(★\right)\end{array}$
Syarat akar $\left(1\right)$:
$x^2-x-2\ge 0\iff (x+1)(x-2)\ge 0$
Pembuat nol: $x=-1$ atau $x=2$.
Penyelesaiannya adalah $x\le -1\text{atau}x\ge 2$.
Syarat akar $\left(2\right)$:
$x^2+3x+2\ge 0\iff (x+1)(x+2)\ge 0$
Pembuat nol: $x=-1$ atau $x=-2$.
Penyelesaiannya adalah $x\le -2\text{atau}x\ge -1$.
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $★$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaianpertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $x\ge 2$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{2x^2+6x-8}<\sqrt{x^2+6x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x|0\le x<2\sqrt{2}\}$
B. $\{x|1\le x<2\sqrt{2}\}$
C. $\{x|x>2\sqrt{2}\}$
D. $\{x|x\ge 1\}$
E. $\{x|x\ge 0\}$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{2x^2+6x-8}<\sqrt{x^2+6x}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{2x^2+6x-8}{)}^2& <(\sqrt{x^2+6x}{)}^2\\ 2x^2+6x-8& <x^2+6x\\ x^2-8& <0\\ (x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})& <0\end{array}$
Pembuat nol: $x=-2\sqrt{2}$ atau $x=2\sqrt{2}$.
Penyelesaiannya adalah $-2\sqrt{2}<x<2\sqrt{2}\left(★\right)$
Syarat akar $\left(1\right)$:
$2x^2+6x-8\ge 0\iff 2(x+4)(x-1)\ge 0$
Pembuat nol: $x=-4$ atau $x=1$.
Penyelesaiannya adalah $x\le -4\text{atau}x\ge 1$.
Syarat akar $\left(2\right)$:
$x^2+6x\ge 0\iff x(x+6)\ge 0$
Pembuat nol: $x=0$ atau $x=-6$.
Penyelesaiannya adalah $x\le -6\text{atau}x\ge 0$.
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $★$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaianpertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\{x|1\le x<2\sqrt{2}\}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $x>\sqrt{x+12}$, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-12<x<-3$ atau $x>4$                  
B. $x<-3$ atau $x>4$                         
C. $x<-12$
D. $x>0$
E. $x>4$

Pembahasan

Diketahui $x>\sqrt{x+12}$.
Ruas kiri pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai non-negatif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x<0$ dan $x\ge 0$.
Kasus 1: $x<0$
Oleh karena $\sqrt{x+12}\ge 0$ dan $x<0$, maka $x>\sqrt{x+12}$ tidak akan memiliki penyelesaian untuk setiap $x$.
Kasus 2: $x\ge 0$
Oleh karena $x\ge 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan tersebut tidak bernilai negatif sehingga boleh dikuadratkan.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{array}{cc}(x{)}^2& >(\sqrt{x+12}{)}^2\\ x^2& >x+12\\ x^2-x-12& >0\\ (x+3)(x-4)& >0\end{array}$
Pembuat nol: $x=-3$ atau $x=4$.
Penyelesaiannya adalah $x<-3\text{atau}x>4\left(★\right)$
Syarat akar $\left(1\right)$: $x\ge 0$
Syarat akar $\left(2\right)$:
$x+12\ge 0\iff x\ge -12$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $★$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaianpertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $x>4$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x-3}>5-x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4<x<7$                             D. $x>4$
B. $4<x<5$                             E. $x\ge 4$
C. $3\le x\le 5$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x-3}>5-x$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $5-x<0$ dan $5-x\ge 0$.
Kasus 1: $5-x<0⟺x>5$
Oleh karena $\sqrt{x-3}\ge 0$ dan $x>5$, maka $\sqrt{x-3}>5-x$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar: $x-3\ge 0⟺x\ge 3$.
Irisan dari $x>5,x\in R$, dan $x\ge 3$direpresentasikan oleh garis bilangan berikut.

Penyelesaiannya adalah $x>5$.
Kasus 2: $5-x\ge 0⟺x\le 5$
Oleh karena $x\ge 5$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{x-3}>5-x$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{x-3}{)}^2& >(5-x{)}^2\\ x-3& >25-10x+x^2\\ x^2-11x+28& <0\\ (x-4)(x-7)& <0\end{array}$
Pembuat nol: $x=4$ atau $x=7$.
Penyelesaian: $4<x<7$.
Syarat akar:
$x-3\ge 0\iff x\ge 3$.
Irisan dari $x\le 5,4<x<7$, dan $x\ge 3$direpresentasikan oleh garis bilangan berikut.

Penyelesaiannya adalah $\boxed{4 < x \leq 5\}$.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\{x|x>4\}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 11
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}+1\le 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1\le x\le 5$                   D. $x\ge 1$
B. $x\ge 5$                           E. $x<2$
C. $x\ge 2$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}+1\le 0$.
Posisikan bentuk akar pada kedua ruasnya, lalu kuadratkan untuk menghilangkan tanda akarnya (sebanyak $2$ kali).
$$\begin{array}{cccc}\sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}+1& \le 0& & \\ \sqrt{x-1}& \le -1+\sqrt{2x-1}& & \\ (\sqrt{x-1}{)}^2& \le (-1+\sqrt{2x-1}{)}^2& & \\ x-1& \le 1-2\sqrt{2x-1}+(2x-1)& & \\ -x-1& \le -2\sqrt{2x-1}& & \\ x+1& \ge 2\sqrt{x-1}& & (\text{Kali}-1)\\ (x+1{)}^2& \ge (2\sqrt{x-1}{)}^2& & \\ x^2+2x+1& \ge 4(2x-1)& & \\ x^2-6x+5& \ge 0& & \\ (x-5)(x-1)& \ge 0& & \\ x\le 1\text{atau}& x\ge 5& & \end{array}$$Syarat akar $\left(1\right)$:
$x-1\ge 0\iff x\ge 1$.
Syarat akar $\left(2\right)$:
$2x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{2}$.
Gambarkan irisan dari ketiga interval dalam garis bilangan seperti berikut.

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $x=1\text{atau}x\ge 5$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika pertidaksamaan $\sqrt{3-ax}\le 2$ dipenuhi oleh interval $a-2\le x\le 3$, maka nilai $a^2-a=\cdots \cdot$
A. $4$                      C. $2$                  E. $0$
B. $3$                      D. $1$          

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{3-ax}\le 2$.
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh $3-ax\le 4$.
Syarat akar: $3-ax\ge 0$.
Dari sini, kita peroleh
$\begin{array}{cc}& 0\le 3-ax\le 4\\ & -3\le -ax\le 1\\ & -\frac{1}{a}\le x\le \frac{3}{a}\end{array}$
Karena diketahui bahwa pertidaksamaan $\sqrt{3-ax}\le 2$ terpenuhi oleh interval $a-2\le x\le 3$, maka jelas bahwa $a=1$.
Dengan demikian, nilai dari $a^2-a=(1{)}^2-1=0$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Sebuah sepeda melaju di jalan raya selama $t$jam dengan lintasan tempuh (dalam satuan kilometer) ditentukan oleh persamaan $S\left(t\right)=\sqrt{t^2-10t+40}$ dan panjang lintasan yang ditempuh sekurang-kurangnya $10$ km. Bentuk pertidaksamaan yang menyatakan masalah di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{t^2-10t+40}>10$
B. $\sqrt{t^2-10t+40}\ge 10$
C. $\sqrt{t^2-10t+40}<10$
D. $\sqrt{t^2-10t+40}\le 10$
E. $\sqrt{t^2-10t+40}>0$

Pembahasan

Soal Nomor 14 ($★$)
Jika $\sqrt{-x+3}<2$ dan $\sqrt{2y+7}<4$, maka $\cdots \cdot$
A. $\frac{7}{2}<xy<\frac{27}{2}$
B. $\frac{7}{2}<xy<\frac{21}{2}$
C. $-\frac{7}{2}<xy<\frac{27}{2}$
D. $-\frac{21}{2}<xy<\frac{9}{2}$
E. $-\frac{21}{2}<xy<\frac{27}{2}$

Pembahasan

Selesaikan pertidaksamaan $\sqrt{-x+3}<2$terlebih dahulu. Langkah pertama adalah menguadratkan kedua ruas.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{-x+3}{)}^2& <2^2\\ -x+3& <4\\ -x& <1\\ x& >-1\end{array}$
Syarat akar:
$-x+3\ge 0\iff x\le 3$
Dengan demikian,
$\text{HP1}=\{x|-1<x\le 3\}$
Selanjutnya, selesaikan pertidaksamaan $\sqrt{2y+7}<4$. Langkah pertama sama, yaitu menguadratkan kedua ruas.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{2y+7}{)}^2& <4^2\\ 2y+7& <16\\ 2y& <9\\ y& <\frac{9}{2}\end{array}$
Syarat akar:
$2y+7\ge 0\iff y\ge -\frac{7}{2}$
Dengan demikian,
$\text{HP2}=\{y|-\frac{7}{2}\le x<\frac{9}{2}\}$
Dari $\text{HP1}$ dan $\text{HP2}$, kita peroleh interval nilai $xy$.
Batas bawah nilai $xy$ adalah saat $x=3$ dan $y=-\frac{7}{2}$, sehingga $xy=-\frac{21}{2}$.
Batas atas nilai $xy$ adalah saat $x=3$ dan $y\approx \frac{9}{2}$, sehingga $xy\approx \frac{27}{2}$.
Jadi, diperoleh $-\frac{21}{2}\le xy<\frac{27}{2}$.
(Jawaban E)

Selesaikan pertidaksamaan berikut
a. $\sqrt{x^2-x}>x$
b. $\sqrt{2x+8}<x$
c. $\sqrt{x}+2>x$
d. $4+\sqrt{2x}<x$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $\sqrt{x^2-x}>x$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x<0$ dan $x\ge 0$.
Kasus 1: $x<0$
Oleh karena $\sqrt{x^2-x}\ge 0$ dan $x<0$, maka $\sqrt{x^2-x}>x$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar:
$x^2-x\ge 0\iff x(x-1)\ge 0$
Pembuat nol: $x=0$ atau $x=1$
Penyelesaiannya adalah $x\le 0$ atau $x\ge 1$.
Irisan dari $x<0,x\in R$, dan $(x\le 0\text{atau}x\ge 1)$ direpresentasikan oleh garis bilangan berikut.

Penyelesaiannya adalah $x<0$.
Kasus 2: $x\ge 0$
Oleh karena $x\ge 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{x^2-x}>x$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{x^2-x}{)}^2& >(x{)}^2\\ x^2-x& >x^2\\ -x& >0\\ x& <0\end{array}$
Syarat akar:
$x^2-x\ge 0\iff x(x-1)\ge 0$
Pembuat nol: $x=0$ atau $x=1$
Penyelesaiannya adalah $x\le 0\text{atau}x\ge 1$.
Irisan dari $x\ge 0,x<0$, dan $\left(x\le 0\text{atau}x\ge 1\right)$ tidak ada, berarti tidak ditemukan penyelesaian untuk kasus ini.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\{x|x<0\}$
Jawaban b)
Diketahui $\sqrt{2x+8}<x$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x<0$ dan $x\ge 0$.
Kasus 1: $x<0$
Oleh karena $\sqrt{2x+8}\ge 0$ dan $x<0$, maka $\sqrt{2x+8}<x$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar:
$2x+8\ge 0\iff x\ge -4$
Irisan dari $x<0,x\in R$, dan $x\ge -4$ adalah $-4\le x<0$.
Kasus 2: $x\ge 0$
Oleh karena $x\ge 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{2x+8}<x$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{2x+8}{)}^2& <(x{)}^2\\ 2x+8& <x^2\\ x^2-2x-8& >0\\ (x-4)(x+2)& >0\end{array}$
Pembuat nol: $x=4$ atau $x=-2$.
Penyelesaiannya adalah $x<-2$ atau $x>4$.
Syarat akar:
$2x+8\ge 0\iff x\ge -4$
Irisan dari $x\ge 0,x\ge -4$, dan $\left(x<-2\text{atau}x>4\right)$ adalah $x>4$.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\{x|-4\le x<0\text{atau}x>4\}$
Jawaban c)
Diketahui $\sqrt{x}+2>x$, ekuivalen dengan $\sqrt{x}>x-2$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x-2<0$ dan $x-2\ge 0$.
Kasus 1: $x-2<0\iff x<2$
Oleh karena $\sqrt{x}\ge 0$ dan $x<0$, maka $\sqrt{x}>x-2$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar: $x\ge 0$
Irisan dari $x<2,x\in R$, dan $x\ge 0$ adalah $0\le x<2$.
Kasus 2: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$
Oleh karena $x\ge 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{x}>x-2$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{x}{)}^2& >(x-2{)}^2\\ x& >x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& <0\\ (x-1)(x-4)& <0\\ 1<x& <4\end{array}$
Syarat akar: $x\ge 0$
Irisan dari $x\ge 0,x\ge 2$, dan $\left(1<x<4\right)$ adalah $2\le x<4$.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\{x|0\le x<4$.
Jawaban d)
Diketahui $4+\sqrt{2x}<x$, ekuivalen dengan $\sqrt{2x}<x-4$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x-4<0$ dan $x-4\ge 0$.
Kasus 1: $x-4<0\iff x<4$
Oleh karena $\sqrt{2x}\ge 0$ dan $x<4$, maka $\sqrt{2x}<x-4$ tidak terpenuhi untuk semua $x$.
Kasus 2: $x-4\ge 0\iff x\ge 4$
Oleh karena $x\ge 4$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{2x}<x-4$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{array}{cc}(\sqrt{2x}{)}^2& <(x-4{)}^2\\ 2x& <x^2-8x+16\\ x^2-10x+16& >0\\ (x-2)(x-8)& >0\\ x<2\text{atau}& x>8\end{array}$
Syarat akar: $2x\ge 0\iff x\ge 0$
Irisan dari $x\ge 4,x\ge 0$, dan $\left(x<2\text{atau}x>8\right)$ adalah $x>8$.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\{x|x>8$. 

[collapse]